Las vocales a, e, o son vocales fuertes, es decir, que al separar las palabras en sílabas, se separan de otras vocales contiguas (de al lado).

Las vocales i, u son vocales débiles, es decir que si están al lado de otra vocal se pronuncian en el mismo golpe de voz.

Definición de diptongo: un diptongo ocurre cuando una vocal débil y una fuerte (sin importar el orden) o dos vocales débiles se encuentran en la misma sílaba o golpe de voz. Ejemplo:

La palabra aire:
consiste de vocal fuerte(a), vocal débil(i), consonante(r) y vocal fuerte(e).
se separa en sílabas: ai-re
como la a y la i se pronuncian en el mismo golpe de voz, se encuentran en la misma sílaba
de acuerdo a la definición, la combinación ai forma diptongo (vocal fuerte y débil en la misma sílaba)
Más ejemplos: mueble, lengua, antiguo, nieve, diario, miércoles (miér-co-les)

Definición de triptongo: un triptongo ocurre cuando hay una vocal fuerte entre dos vocales débiles en la misma sílaba y las tres se pronuncian.

Ejemplo:

La palabra Uruguay:
Se separa en sílabas: U-ru-guay
En la última sílaba guay, las tres vocales se pronuncian en el mismo golpe de voz
De acuerdo a la definición, la combinación uay forma triptongo (vocal fuerte entre dos vocales débiles, donde la y griega es vocal débil al estar a final de palabra)
Más ejemplos: Paraguay, buey (esta palabra es un insulto en México solamente; en el resto del mundo hispanohablante simplemente significa "ox")

El diptongo se rompe cuando el acento cae sobre la vocal débil. Por ejemplo, en la palabra día, como el énfasis de la pronunciación cae sobre la vocal débil i, se rompe el diptongo, se escribe el acento y las vocales se separan. En efecto lo que sucede es que la i con acento se vuelve fuerte, y puede quedar sola. Por lo tanto, día se separa en sílabas dí-a. Otros ejemplos son poesía, María, maíz, ataúd.
Las vocales fuertes nunca quedan juntas al separar en sílabas. Esto se llama hiato. Ejemplos: poema (po-e-ma), oeste (o-es-te), área (á-re-a).
Cuando la u no se pronuncia, no se la cuenta para lo diptongos. Por ejemplo, guerra no tiene diptongo porque la u no se pronuncia (gue-rra).
Cuando la u lleva diéresis o crema (ü), sí se la pronuncia y por lo tanto sí cuenta para los diptongos. Ejemplo: agüita sí tiene diptongo porque la ü sí se pronuncia (a-güi-ta).
La ü sólo lleva diéresis si hay que pronunciarla delante de la vocal e o de la vocal i. Por lo tanto, la palabra desagüe lleva diéresis, mientras que la palabra agua no necesita diéresis.
Ejemplo: ue se encuentra en las palabras buenas, muebles, huevo y sueño. En las otras dos palabras, el diptongo es eu.